Sa mga naghahanap sa inyo ng gawaing kaugnay ng ating kasalukuyang talakayan, heto ang para sa inyo: ang proyekto.
Maari ito gawin mag-isa, dalawahan, tatluhan, apatan o limahan (Limang tao ang maximum).
Bumuo ng isang video o slide presentation (o kahit anong ibang hawig na anyo) na siyang magpapaliwanag kung ano ang sozein ta phainomena at magpapakita rin kung paano naisasakatuparan ang prinsipyong ito sa larangan o disiplinang pinili mo/ninyo).
Sa madaling salita, dalawa ang aasahan sa inyong ipapasa:
1. Paliwanag kung ano ang sozein ta phainomena
2. Isang halimbawa kung paano ito natutupad sa loob ng isang larangan/disiplina
Kung dalawahan kayo o grupo, gawin ang pagpupulong ninyo online dahil nga ipinagbabawal tayo sa panahong ito na lumabas ng ating mga bahay. Gawin lamang bilang grupo kung talagang nais at kaya ninyo tuparin online.
Kung video, hindi dapat lalagpas ng limang minuto at kung slide presentation, mga 10 hanggang 15 ang bilang ng mga slide.
Ipasa sa aking email ang iyong/inyong proyekto bago mag alas-tres ng hapon (15h00) sa Biyernes 24 Abril.
Ang gawaing ito ay boluntaryo/opsyonal at hindi mamarkahan (tingnan ang nauna kong anunsyo noong 13 Abril).
Nawa'y maging masayang pagkakataon ito para matuto. Aasahan kong magamit ninyo ang angkin ninyong pagkamalikhain at pagkamaparaan. Hihintayin ko ang inyong mga proyekto.
Biyernes, Abril 17, 2020
Miyerkules, Abril 15, 2020
Naaaninag ang meron sa loob ng sipnayan
Magandang
araw sa inyo! Handa na naman ba kayo sa patuloy na pagmumuni-muni sa
matematika? Kung sakaling nagugulat kayo’t agarang dumami ang mga paskil ko
ngayong linggo, epekto ito ng naideklarang pagtatapos ng ating semestre sa 8
Mayo. Para matapos natin ang Agham at
Meron, kailangan nating tapusin ngayong linggo ang talakayan tungkol sa
matematika upang makatawid na rin tayo agad sa aktwal na paksa ng kasalukuyan
nating yugto: ang agham.
Sa
huli nating talakayan, tinignan natin ang purong aritmetika at purong
heometriya at nakita natin ang pagkilos ng samu’t saring mga sistemang
gumagalaw din sa purong isip. Hindi nga ba’t nalinaw na natin noon na wala sa
meron ang sistema. Ang sistema ay palaging abstraksyo, palaging gumagalaw sa
purong isip, bagaman tulad ng konsepto’y nakabatay pa rin sa meron. Ang
pagmumulat na ito ay naghatid sa atin ng
pag-uunawa sa kilos sa isip ng mga konsepto’t sistema. Ang tamang sagot sa mga
palaisipang matematiko ay palaging gumagalaw sa loob ng mga aksiyoma ng
partikular na sistema. Hindi mo mapagagalaw sa isip ang sistema hangga’t hindi
malinaw sa iyo ang mga aksiyoma ng sistema. Kaya’t sa mga hindi pa sanay sa
sistemang binary at sa heometriya sa bola, kinailangan pa ninyo sakyan ang mga
aksiyoma ng mga sistemang ito na di hamak na naiba sa mga sistemang kilala niyo
na, tulad ng sistemang decimal at heometriya ni Euklides.
Noong
ipinasok natin sa usapan ang mga larong pampalakasan, nakita nating may mga
aksiyoma ang bawa’t laro na may kasarinlan hambing sa iba pang mga laro kahit
pa may hawig ang mga larong ito sa isa’t isa. Sa sandaling sumali ka sa larong
basketbol, pumapasok ka na sa loob ng sistema na may sariling mga patakaran na
hiwalay sa totoong buhay. Sa sistemang ito, ang bola ang pinakamahalaga kung
kaya’t alam mo sa bawa’t sandali kung nasaan ang bola at uubusin mo ang iyong
enerhiya upang maibuslo ito at makapuntos ayon sa mga patakaran ng laro. Kaya’t
hindi pagmamalabis kung sasabihing handa ang manlalaro magpakamatay para sa
bola. Hahabulin niya ito kahit pa masaktan siya. Kung tama o mali, kung umuubra o hindi ang kanyang mga gawain
ay nakabatay sa mga patakaran ng laro. Kapag tapos na ang laro, bumabalik na sa
tunay na buhay ang manlalaro, ililigpit ang bola at mawawalan na ito ng halaga
hanggang sa susunod na laro. Bumabalik na siya sa meron at totoong
nangyayari sapagkat hindi na siya manlalarong gumagalaw lamang sa laro, tao na
siyang gumagalaw muli sa meron.
Baka
makatulong kung ibabalik natin muli ang krokis na ito mula sa nauna pang
talakayan:
May
teknikal na salitang pangmatematika para sa matematika bilang purong isip, mga
sistema sa isip. Ginagamit din ni Padre Ferriols ito: ang salitang sipnayan, na dinaglat mula sa isip-hanayan na hango naman sa
Filipinong parirala na paghahanay ng isip.
Kahit pa nasa loob tayo ng sipnayan, may mga bakas ng meron ang sistema dahil
sa simula’t sapul pa ay hinango (i.e. inabstraksyo) ang sistema mula sa meron.
Bilang pagbubuod sa ugnayan ng matematika sa meron, itinuturo sa ating atensyon
ni Padre Ferriols na may apat na paraan kung paanong naaaninag natin ang meron
sa loob ng abstraksyo. Isa-isahin natin ngayon ang mga ito:
Unang pag-aninag: may batayang oo at hindi
ang bawa’t sistema
Kung
meron ang pinag-uusapan, kitang kita na ang taong matino ay umooo sa meron at
humihindi sa wala. Oo, merong Benedict Cumberbatch, pero walang Doctor Stephen
Strange. Merong Tom Holland, pero walang Peter Parker. Sa matematika naman,
kahit pa gumagalaw sa purong isip, may batayang oo o hindi na
nagbibigay-kaayusan sa sistema. Ang 2+3 ay 5 at may tatlong sulok ang tatsulok.
Ayon sa batayang oo at hindi ng sistemang decimal, mali ang 1+1=10 ngunit ayon
naman sa batayang oo at hindi ng sistemang binary, ooo ka sa 1+1=10.
Ikalawang pag-aninag: inuutusan ng
sistema ang gumagamit nito na tumalima dito
Ang
utos ng pamahalaan na manatili tayo ngayon sa sari-sarili nating mga bahay ay
hindi utos na absoluto. Batay ang utos na ito sa meron. Sapagkat bahagi ng
meron ngayon ang pagragasa ng salot na karamdamang nakahahawa. Kailangan kong
sumunod sa utos ng meron. Kaya’t kung humaharap ka sa salamin, tumatalima ka ba
sa utos ng meron kung ang nakikita mo sa salamin ay guwapo/maganda? Sa loob naman
ng sipnayan ng matematika, tama o mali ang sagot mo sa pagsusulit hindi dahil
sinabi ng guro, hindi dahil sinabi ng aklat, pero dahil utos ito ng sistemang
ginagamit ninyo. Hindi batay sa kahiligan lamang ni Euklides kung anu-ano ang
nilalaman ng mga pambihira niyang mga teorema. Si Euklides nga ang nag-imbento
ng kanyang sistema pero ang mga kilos nito ay tinatanggap mo hindi dahil sinabi
ang mga ito ni Euklides. Kung sumusunod ang iyong isip sa utos ng sistemang
binubuo niya, makikita mo para sa iyong sarili na ganoon nga ang teorema.
Ikatlong pag-aninag: ang matematika ay
ginagawa
Malinaw
na siguro sa ating lahat na hindi mo lamang pinapanood sa balita na marong
salot ngayon. Ngunit kailangan mo ring isagawa ang mga implikasyon ng meron na
ito. Ang panawagan sa atin ngayon ng meron ay mag-ingat, manatiling malusog,
magpasensya, tumulong kung may pagkakataon. Sapagkat ang pagbigkas sa meron ay
isa ring paggawa (balikan ang paborito ninyong si Tswang Tsu). Paano ito
naaaninag sa matematika? Kung ikaw katulad ko noon na nanonood lang sa guro ng
matematika at naghihintay marating niya sa pisara ang mga tamang sagot para
kopyahin it sa iyong kwaderno at hindi ginagawa ang mga ehersisyong takdang
aralin mula sa aklat ng matematika, ano ang malamang nangyari sa iyo pagdating
ng pagsusulit? Bokya! Habang blangko ang isip mo at sulat ng sulat ng kanilang
mga solusyon ang mga kaklase mo, iniisip mo na alam mo dapat ito dahil pinanood
mo kung paano ito ginawa ng guro sa pisara at sinubaybayan mo naman ang bawat leksyon.
Hindi kasi natin ginawa. Ang meron at matematika ay hindi pwedeng parang
youtube na pinanonood lang para maaliw tapos akala mong alam mo na. Kaya pala
punung-puno ng ehersisyo ang aklat ng matematika. Hindi ito ginawa ng mga
may-akda dahil sadista sila at gusto nilang pahirapan ang mge estudyante. Binuo nila
ang mga ehersisyo upang humusay at gumaling ang mga estudyante, o sa
madaling salita, matuto ang estudyante kung paano magmatematika. Pero
mangyayari lamang ito kung gagawin ng estudyante ang matematika. Ang galing
ano? Hindi pa huli ang lahat para matuto tayo. May aninag nga ng meron sa
matematika.
Ikaapat na pag-aninag: palaging meron pa
Kapag
meron ang pinag-uusapan, hindi pwedeng sabihing, “iyon lang,” o “tapos na.”
Kaya nga sa nakaraan nating buhay kung kailan nagtatagpo pa tayo sa
silid-aralan at may nagbibigay ng repetitio, ikinaiinis ko kung tinatapos ng
estudyante ang kanyang ulat ng mga salitang iyan. Hindi pwedeng sabihing “iyon
lang” dahil hindi nga nasasabi ang pinakamahalaga. Hindi pwedeng sabihing
“tapos na” dahil palaging may susunod na kabanata, palaging meron pa. Hindi
tayo makararating sa puntong alam na natin ang lahat dahil napakalawak ng meron
at napakaliit ng tao. Ano naman ang nakita natin sa matematika? Akala mo noon
(at ng maraming iba pang tao) na nahuli na ng sistemang decimal ang lahat ng
posibleng pagbibilang; ng sistema ni Euklides ang balangkas ng buong mundo,
nagulat ka na marami pa palang iba pang mga sistemang naisip bukod sa mga ito
at malamang marami pang mga sistemang maiisip ng mga dalubhasa ng matematika sa
hinaharap. At salamat dito dahil may mga praktikal itong epekto sa tunay na
mundo. Alam niyo na ang sistemang binary ang basehan ng patakaran ng mga
kompyuter kung kaya’t utang din natin sa pag-imbento ng sistemang binary ang
kasalukuyan nating pagtatagpo online: sa pamamagitan ng mga sistema ng mga
kompyuter. Dahil sa mga bagong sistemang nabubuo, lumalago ang mga sistemang
pansalapi tulad ng mga bangko, gumagalaw ng mas epektibo ang mga ekonomiya at
nakagagawa ng mga mas mahusay na pangangasiwa ang mga pamahalaang bukas sa
bagong mga pamamaraan.
Hindi
nga meron ang matematika ngunit dahil nga inabstraksyo ito mula sa meron, may
mga pag-aaninag sa meron kahit sa loob ng sipnayan ng matematika. Dito natin nababakasan
ang kaugnayan ng matematika sa meron.
Siguradong
hindi natin natalakay ang lahat ng masasabi ngunit sabihin na nating sapat na
ang mga pagmamasid na ginawa natin upang tumawid na sa tunay na paksa ng ating
talakayan. Dinaanan lamang natin ang matematika bilang paghahanda, bilang
pagmamasid sa mga batayan. Sa susunod kong paskil, sisimulan na natin ang paksa
ng agham. Tuloy lang sa pagbabasa at pagtataka.
Mga
gabay para sa talaarawan:
1. Bagaman
sinabi na nating abstraksyo lamang ang matematika, sa paanong paraan may
mahalaga pa rin itong papel na ginagampanan sa pagbigkas sa talagang meron?
2. Paano
nagbibigay sa iyo ang talakayang ito ng paghanga sa kayang gawin ng isip ng
tao? Paano ring ito naghahatid sa iyo ng paninindigang mapagkumbaba sa harap ng
lawak ng meron?
3. Nabanggit
ni Padre Ferriols si Kurt Gödel. Sino siya? Paano niya nabago ang pag-uunawa ng
mga matematiko sa matematika? Ano ang mga implikasyon ng kanyang natuklasan sa
kalagayan ng mga sistema sa harap ng meron?
4. Pagmunihan ang linyang ito mula kay Padre Ferriols: "Kapag hindi gising ang ating isip, baka pansinin na lamang natin ang pagkahawig ng matematika sa pagbigkas sa meron, ng anino sa umaanino, at makaligtaan pa natin na mas mabisang di hamak ang pagkaiba. Ubod ng lalim ang bangin na hinihiwalay ang pagmamatematika sa anumang pagbigkas sa meron."
Lunes, Abril 13, 2020
Patuloy na Pagtataka sa Heometriya
Gumanap
tayo ngayon ng pagmumuning hawig sa nauna ngunit ngayon naman tungkol sa
heometriya. Malamang may mga elementong mauulit dito ngunit umaasa akong may
bago din tayong makikita. Kung kaya’t pagtiyagaan natin.
Sabihin
na nating may linya AB at may punto C na hindi bahagi ng linya AB. Ilang linya
ang maaaring mabuo kung saan dadaan itong bagong linya sa punto at tatawid sa
naunang linya sa paraang perpendicular (may 90 grado)?
Malamang
din para sa ilan sa inyo na nag-aaral ng kursong matematika o yaong mga naging
mas maingat na sumagot sa mga tanong ko gawa na rin nang napaso o natuto na sa
mga nangyari noon (sana mabuting bagay ito dahil nagiging mas kritikal at
mapagmuni tayo), tama ang nasabin sagot kung ang heometriya ni Euklides ang
pinag-uusapan. Ito ang tinatawag na klasikal na heometriya kung saan lahat ng
mga pigurang pinag-uusapan ay nakalatag sa isang walang-hanggan at ganap na
kapatagan. Bakit mahalagang punahin ito? Sapagkat hindi lamang ito ang
kaisa-isahang heometriya. Katulad ng nakita natin sa decimal at binary sa
naunang pagmumuni, maiiba ang sagot natin sa parehong katanungan kung ibang
sistema ang ating gagalawan.
Paano
kaya? Balikan mo ang linya AB at ang punto C. Kunin mo ang mga ito mula sa
pinaglagyan nitong kapatagan ni Euklides at ilipat ito sa balat ng isang ganap
na bola. Tapos tanungin mo muli ang parehong katanungan. Sa sandaling ito,
magkakamali ka kung “isa” pa rin ang iyong isasagot. Sa kasong ito, ang tamang
sagot ay higit sa isa sapagkat hindi mabibilang (maaaring gamitin ang kilalang
salitang Latin dito: infinitum). Kung
nalilito ka na, maghunus-dili ka at magdadahan-dahan tayo muli. Huwag
mag-alala, may paraang pamilyar sa iyo na magagamit natin upang mas masakyan mo
ito. Heto na:
Pareho
lamang ang tanong ngunit magkaiba ang tamang sagot depende kung aling sistema
ang ating ginagamit. Kung nasa kapatagan ni Euklides ang linya at punto, “isa”
ang sagot. Kung nakalatag sa balat ng ganap na bola ang linya at punto,
“infinitum” ang sagot. Muli, nakikita natin na ang sistema bilang pamantayan at
sanggunian ang nagdidikta kung ano ang tamang sagot. Kung ano ang tama o mali
ay hindi maaaring masagot sa labas ng sistema.
Pati
ang mga depinisyo ng mga konsepto ay idinidikta ng sistema. Sa kapatagan ni
Euklides, istriktong tuwid ang mga linyang nabubuo dala ng kalikasan mismo ng
ganap niyang kapatagan. Sa heometriya sa bola, kurbada ang lahat ng linya
(hindi nga ba’t ito ang mapapansin sa mga linya ng globo kahit pa longgitudo o
latitudo ang pinag-uusapan?) na siyang dala din ng kalikasan mismo ng ganap na
bola.
Nakikita
mo na ba kung paanong may hawig tayong nakikitang nangyayari sa heometriya ni
Euklides hambing sa heometriya sa bola at sa sistemang decimal hambing sa
sistemang binary?
Upang
lalong maunawaan ang mahiwagang kilos ng mga sistemang matematiko, lumipat tayo
sandali at gamiting larawan ang mga larong pampalakasan bilang mga sistema.
Hindi naman siguro lalabas na pambihira ang makikita natin ngunit sana ito’y
makatulong. Maghambing tayo ngayon ng dalawang larong pwedeng asahang pamilyar
sa ating lahat: ang basketbol at ang balibol.
Marami tayong maaaring pag-usapan dito tulad ng mga depinisyo ng mga hudyat na ginagamit. Ang parehong senyas ng kamay ay maaaring mangahulugang iba sa basketbol kumpara sa balibol. Pwedeng tignan ang iisang hudyat na babasahin bilang travelling sa basketbol ngunit babasahin naman bilang substitution sa balibol. Dito pa lamang, makikita ang sistema bilang kontekstong nagbibigay ng depinsyo sa hudyat.
Ngunit ang nais ko talagang gamiting larawan ay ang ugnayan ng manlalaro sa mga hangganang nakapinta sa sahig ng palaruan. Mapapansin mo sa basketbol na napaka-istrikto ng mga hangganang iyan at malaki ang epekto ng mga ito sa takbo ng laro. Kung ilalabas ang bola, dapat malinaw na nasa labas ng linya ang magpapasok nito sa pagpasa niya sa kakampi. Kapag naitawid na ng point guard ang bola sa gitnang guhit, bawal nang bumalik sa kabila ang apak niya o talbog ng bola (back court violation). Sa free throw, pwede lamang umapak ang mga manlalaro sa shaded lane kapag tumama na sa ring ang bola o kung naibuslo ito. Kung tumira ang manlalaro nang nakaapak sa three-point line, dalawang puntos lamang iyon kung naibuslo. Kung umapak ka sa sideline o endline habang hawak ang bola, mapupunta sa kalaban ang bola. Dahil dito, ang daming mga pagkakataong talagang hinahabol ng manlalaro ang bola bago ito lumabas sa guhit kahit pa mapatilapon siya sa mga kameraman o sa mga manonood.
Iba naman sa balibol. Sa isang banda, minamatyag at ginagalang din naman talaga sa balibol ang mga nasabing guhit. Sa service, dapat nasa labas ng endline ang gagawa nito. May linya sa gitna ng sahig na naghahati sa anim na manlalaro: tatlo sa harap at tatlo sa likod. Pwede lang gumawa ng spike ang nasa likod nang hindi lumalagpas sa linya. At siyempre dahil ang obhetibo ng balibol ay panatilihin sa ere ang bola, ang guhit din ang magdidikta kung “in” o “out” ang bola kapag bumagsak ito. Ngunit may malaking kaibahan pa rin sa basketbol. Kung nasa likod ang posisyon ko, maaari rin ako magspike sa kaliwa o kanan sa labas ng hangganan sa tamang distansya sa lambat. Kapag kakampi ko ang huling humawak ng bola, pwede ko ito habulin sa labas na linya at ipasok ulit. Sa balibol, good pa rin ang tirang iyon. Kung galing naman sa kalaban ang bola at palagpas na sa linya pero tinapik ko pa rin ito sa labas ng linya, good pa rin iyon.
Ano
ang nais kong sabihin? Kung gagamitin mo ang basketbol bilang pamantayan sa
balibol, masasabi mong napakaliberal pala ng balibol kasi pwedeng huwag
pansinin ang mga linya tapos sa kabilang panig naman, sasabihin mong
napakaistrikto naman ng basketbol kasi gigil na gigil sa mga linya ang mga
manlalaro. Hindi nararapat ang ganitong mga husga dahil ginagamit mong
pamantayan para sa isang laro ang larong naiiba dito. Sa ating talakayan,
mahalagang maaalala na ang sistema ang nagdidikta ng sarili nitong mga depinsyo
at aksiyoma.
Ganito
rin ang makikita kahit pa pag-usapan natin ang mga mas bagong larong binatay sa
mga lumang laro. Ang bagong laro ay magkakaroon na ng sarili nitong mga
aksiyomang hindi na itinuloy mula sa larong pinanggalingan. Halimbawa, kahit pa
nakabatay ang table tennis sa lawn tennis, ibang iba ang mga larong ito sa
isa’t isa. Sa table tennis dapat patalbugin mo sa mesa mo ang bola kapag
service. Sa lawn tennis, diretso sa
court ng kalaban ang talbog ng bola sa service. Sa table tennis, dapat hintayin
mo tumalbog sa mesa mo ang bola bago ito hampasin. Sa lawn tennis pwede ka
sumugod at hampasin ng raketa ang bola kahit hindi pa ito tumatalbog sa iyong
court. Oo, nagmula nga sa lawn tennis ang table tennis ngunit ibang larong may
sariling mga aksiyoma ang nahuli sa nauna. May sarili na itong patakarang
hiwalay na sa lumang larong pinanggalingan.
At
sa huli, maaari nating makita ang kaibahan ng dalawang tambalang mga tanong.
Ang tambalan ng “meron / totoo ba?” ay naiiba sa tambalang “tama / umuubra ba?”
Manatili
muna tayo sa larong pampalakasan sapagkat nariyan tayo ngayon. Kung sa balibol,
sabihin nating tinanggap ng isang manlalaro ang bato ng service habang nasa
labas na siya ng guhit, sasabihin mong totoong tinanggap niya ang bola at iyon
ang meron ng nangyari. Iba ang tinutukoy mo kung tatanungin mo kung tama bang
iyon ang kanyang ginawa o kung uubra ba ang kilos na iyon para magwagi ang
kinabibilangan niyang koponan.
Ganito
rin ang masasabi tungkol sa matematika. Sa tanong na 1+1=10, sasabihin mong
tama ito o umuubra ito kung angkop na sistema ang gagalawan natin. Pero kung
meron o totoo ito, nasa labas na tayo ng sistema dahil pwede lang ito
pag-usapan sa aplikasyon ng nasabing tambalan sa meron.
Kung
ilang guhit ang mabubuo natin sa loob ng patakaran ng heometriya, kitang-kita
din natin ngayon na ang ganitong usapin ay gumagalaw din lamang sa larangan ng
tama ba at kung umuubra ba. Hindi saklaw ng mga sistemang ito ang tanong na
“totoo / meron ba?” dahil ang usaping totoo at meron na siyang usapin ng
metapisika ay nasa labas ng mga hangganan ng sistema.
Mga
tanong para sa talaarawan:
1. Bakit
mahalagang ipagkaiba ang mga tanong na “tama / umuubra ba?” sa “totoo / meron ba?” sa loob ng
matematika? Anong mga gusot ang pinapasok natin kung napagkakamalan natin at
napagbabaligtad natin sa isa’t isa ang mga tanong na ito? Paano lalong
lumilinaw ang ginagalawan ng purong matemataka? Paano lalong lumilinaw ang
ginagalawan ng mga aplikasyon?
2. Subukang
ipakita kung paanong nililinaw ng kaibahan ng mga tanong na “totoo/meron
ba?” at “tama / umuubra ba?” ang ilang
mga punto ukol sa kaugnayan ng batas sa meron. Pagmuni-munihan ang mga
implikasyon ng pagmumulat sa kaibahan ng dalawang tambalang mga tanong na ito
sa loob ng larangan ng batas; batas bilang sistema at ang kaugnayan nito sa
meron.
3. Ano
ang ibig sabihin ni Padre Ferriols sa linyang ito: “Ang sistemang laman ang
lahat ay sistemang walang laman.” Ipaliwanag ang kanyang kahulugan at
pagmunihan ang mga implikasyon nito.
Patuloy na Pagtataka sa Aritmetika
Ano
ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:
1
+ 9 = 10
1
+ 1 = 10
Malamang
sasabihin mong tama ang una at mali ang huli. Kilos iyan ng matinong pag-iisip
kung saan babasahin mo ang unang tambalan bilang isa dagdagan ng siyam ay sampu
(samakatwid tama) at hindi sasang-ayon ang isip sa sandali ng pagbasa sa huli
na isa dagdagan ng isa ay sampu.
Kung
sinubaybayan mo sa huling talaarawan ang ilang mga tanong kung paanong may
bakas ng meron sa mga abstraksyo ng matematika, baka naaalala mong nabanggit na
sampu ang base ng lahat ng karaniwang sistema at wika ng pagbibilang sa buong
mundo. Ito malamang ay dala ng meron ng ating mga katawan na ipinagkaloob ng
sampung daliri. Hindi siguro malayo sa totoo kung sasabihin nating ang mga
daliri ang pangunahing instrumento ng pagbilang. Pati ang payak ngunit
epektibong abacus ay nakabase din sa sampu. Bago naimbento ng tao ang abacus,
nagbilang muna siya gamit ang mga daliri niya kaya ang lohika ng sampung daliri
ang naging basehan ng lohika ng abacus.
Kitang-kita
din ito sa dalawang sistema ng mga numero na naituro sa atin sa mababang
paaralan: ang sistemang Romano at ang sistemang Hindu-Arabo. Mapapansing ang
mga batayang titik ng alpabetong Romano na ginamit sa sistema ng numero ay may
kinalaman sa sampu. Tingnan: ang I ay isa, V ay lima, X ay sampu, L ay limampu,
C ay sandaan, D ay limandaan at M ay sanlibo. Hindi na rin dapat maging
kataka-taka na sa mga kasalukuyang patakaran ng mga salapi ng mga bangko
sentral ng samu’t saring mga bansa, ang mga numerong ito ang halaga ng mga
piraso ng pera; barya man o papel. Umiikot sa sampu ang sistemang nabuo.
Kung
susuriin naman ang sistemang Hindu-Arabo, mapapansing may sampu itong simbulo
na pinatatakbo sa isang partikular na paraan at bumubuo ng samu’t saring mga
kombinasyon upang bigyan ng representasyon ang anumang numero; buo (Latin: integer) man o basag (Latin: fractus/fractio). Simple lang ang lohika
ng sistema: patatakbuhin mo ang mga simbulo sa tamang pagkakasunud-sunod. Kapag
naubos mo na ang mga ito, magdadagdag ka ng bagong hilera sa kaliwa at tatakbo
muli sa parehong pagkakasunud-sunod ang mga numero. Kaya sa unang kaso, tatakbo
ang mga simbulo nang ganito: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Sa puntong ito nagamit na
natin ang lahat ng mga simbulo. Upang maipagpatuloy ang pagbibilang,
magdadagdag ka ng hilera sa kaliwa na umaayon din sa parehong
pagkakasunud-sunod: 10 (tapos 11 12 13 14 15 16 17 18 19) na susundan ng 20
(tapos 21 22 23 atbp…) na susundan naman ng 30, 40, 50, atbp.
Maaari
mong itanong: “Ito na ba ang lahat ng sistemang nabuo?” Iyan ang tanong na
maghahatid sa atin sa ating pagmumuni ngayon, sapagkat ang sagot sa tanong na
ito ay, “Hindi, dahil marami pang iba pang sistemang nabuo.”
Bagaman
tinamaan na natin sa itaas ang sistemang Romano at sistemang Hindu-Arabo,
kailangang aminin na kapwa pasok sa tinatawag na sistemang decimal ang mga ito
(mula sa Latin decimal: nakabase sa
sampu). May ibang maaaring mangyari kung iba ang magiging base ng sistema.
Pumulot tayo ng isa pang sistema, ang sistemang binary (binary: base sa
dalawa).
Dahil
dalawa ang base, dalawa rin lang ang simbulong gagamitin: 0 at 1. Pareho din
ang patakaran o takbo ng sistema tulad ng sa sistemang decimal (may
pagkakasunud-sunod ang mga simbulo at nagdaragdag ng bagong hilera sa katapusan
ng bawa’t pasada) ngunit dahil dalawa rin lamang ang simbulong gagamitin,
mabilis ang pagdagdag ng mga hilera. Upang bigyan ka ng ideya, narito ang
pagtutumbas ng representasyon ng parehong mga numero ng dalawang magkaibang
sistema:
Numero
|
Base 10
|
Base 2
|
Numero
|
Base 10
|
Base 2
|
zero
|
0
|
0
|
labing-isa
|
11
|
1011
|
isa
|
1
|
1
|
labindalawa
|
12
|
1100
|
dalawa
|
2
|
10
|
labintatlo
|
13
|
1101
|
tatlo
|
3
|
11
|
labing-apat
|
14
|
1110
|
apat
|
4
|
100
|
labinlima
|
15
|
1111
|
lima
|
5
|
101
|
labing-anim
|
16
|
10000
|
anim
|
6
|
110
|
labimpito
|
17
|
10001
|
pito
|
7
|
111
|
labinwalo
|
18
|
10010
|
walo
|
8
|
1000
|
labinsiyam
|
19
|
10011
|
siyam
|
9
|
1001
|
dalawampu
|
20
|
10100
|
sampu
|
10
|
1010
|
tatlumpu’t dalawa
|
32
|
100000
|
Teka
muna. Nalilito ko na ba? Magdahan-dahan tayo.
Patakbuhin
mo muli ang sistemang decimal ngunit ikaltas mo lahat ng mga numerong gumagamit
ng mga simbulong hindi bahagi ng sistemang binary (i.e. 2, 3,4,5,6,7,8, at 9)
0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 99 100 101 102 …109
110 111 112 … 999 1,000 1,001 1,002 … 1,009 1,010 1,011
1,012 … 1,099 1,100 1,101 1,102 ... 1,109 1,110 1,111
1,112 … 9,999 10,000 10,001 10,002 … 10,009 10,010
10,011 10,012 … 10,099 10,100 …
Tapos
ihilera mo lahat ng mga natirang numero ayon sa tamang pagkakasunud-sunod.
Hayaan mo lang ang mga laktaw, maliit man o malaki na dulot ng pagkaltas ng mga
numero sa itaas. Iyan na ang mga numerong binary na hinahanap natin. Tapos
ihanay ang mga ito sa (karaniwang) mga numerong alam na natin (iyan ang mga
numerong decimal). Ganito ang lalabas:
binary
|
0
|
1
|
10
|
11
|
100
|
101
|
110
|
111
|
1000
|
1001
|
1010
|
decimal
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
binary
|
1011
|
1100
|
1101
|
1110
|
1111
|
10000
|
10001
|
10010
|
10011
|
10100
|
decimal
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
Nakasunod
ka na ba? Mabuti. Pwede rin pag-usapan ang pormula kung kailan nagdaragdag ng
bagong hilera. Alam na natin na sa sistemang decimal, ang pormula ay 10n.
Sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng sampu, magpapakilala ka ng bagong
hilera. Maaring ihanay ng ganito:
100
|
101
|
102
|
103
|
104
|
105
|
0
|
10
|
100
|
1,000
|
10,000
|
100,000
|
Alam
na natin ito, hindi ba? Ang bilang ng zero kung susundan mo nito ang isang 1 ay
ang bilang din ng kapangyarihan ng sampu na katumbas ng numerong iyon. Sinasabi
ko lamang ito para itukoy na ganito din ang patakaran ng sistemang binary.
Magdaragdag ka ng bagong hilera sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng
dalawa, sapagkat ang pormula ay 2n. Tingnan muli ang bughaw na
hanayan sa itaas at pansinin kung paanong sa bawa’t kapangyarihan ng dalawa
nagaganap ang bagong hilera sa sistemang binary. Hahanguin ko ang mga bilang na
ito at ilalagay sa ibaba. Ganito ang lalabas. Isasama ko ang mga katumbas sa
decimal bilang gabay:
2n
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
binary
|
0
|
10
|
100
|
1000
|
10000
|
100000
|
decimal
|
0
|
2
|
4
|
8
|
16
|
32
|
Ang
bilang ng mga zero na isusunod mo sa 1 ang representasyon ng kapangyarihan ng
dalawa sa sistemang binary, sapagkat dalawa ang base ng sistema. Makikita ang
lohika nito at kung paanong hinuhubog nito ang magkaibang sistema kung ihahanay
naman natin nang ganito:
simbulo
|
decimal
|
bilang
|
binary
|
bilang
|
0
|
100
|
zero
|
20
|
zero
|
10
|
101
|
sampu
|
21
|
dalawa
|
100
|
102
|
sandaan
|
22
|
apat
|
1000
|
103
|
sanlibo
|
23
|
walo
|
10000
|
104
|
sampunlibo
|
24
|
labing-anim
|
100000
|
105
|
sandaanlibo
|
25
|
tatlumpu’t dalawa
|
Ngayong
nasakyan na natin ang galaw ng sistemang base 2 o binary, balikan natin ang
tanong sa simula ng paskil na ito.
Ano
ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:
1
+ 9 = 10
1
+ 1 = 10
Kung
sistemang binary ang gagamitin mo, sasabihin mong walang saysay ang unang
tambalan dahil naglalaman ito ng konseptong hindi bahagi ng sistema. Ang
konseptong tinutukoy ay ang kinakatawan ng simbulo 9. Walang nilalaman at
hangganan ang konseptong ito sa loob ng sistemang binary dahil hindi ito bahagi
ng sistema. Babasahin mo naman ang huli nang ganito: isa dagdagan ng isa ay
dalawa. Nararapat ito dahil ang konsepto na siyang kinakatawan ng simbulo 10 ay
ang numero dalawa. Ito ang nilalalaman at hangganan ng konsepto ng dalawa sa
loob ng sistemang binary. Samakatwid, sa sistemang binary, tama ang huling
tambalan.
Upang
ibuod, ito ang mga husgang mararating natin tungkol sa dalawang tambalan batay
sa sistemang ginagamit natin bilang sanggunian:
sistemang decimal
|
sistemang binary
|
|
1 + 9 = 10
|
tama
|
walang saysay
|
1 + 1 = 10
|
mali
|
tama
|
Dadalhin
tayo ng pagkamulat na ito sa isa pang palaisipan: posible kayang maibigay mong
husga ay na kapwa mali ang dalawang tambalang iyan? Oo, sapagkat maaaring mag-isip
o mas nararapat sabihing, meron nang nakaisip ng iba pang sistema kung saan
hindi sampu ni dalawa ang base bagkus ibang numero (Tatlo? apat? pito?
labindalawa? napakaraming pwedeng maging base ng sistema ng pagbilang) kung saan kapwa
magiging mali o walang saysay ang dalawang tambalang iyan.
Ano
ang punto ng mga pagmamasid na ito? May dalawa tayong nakita:
Kahit
hindi tayo mulat, ang pagsabi natin ng tama o mali ay batay sa sistemang naisip
nating gamitin. Sa karaniwang usapan, base 10 (decimal) ang sistemang
pinagbabasehan natin kaya’t karaniwang tanggap ang unang sagot sa simula ng
paskil na ito.
Napakarami
pala ng mga posibilidad ng mga bagong sistema na maaring mabuo sa larangan ng
aritmetika. At bawa’t sistemang nabubuo ay may sariling mga depinisyo at
aksiyoma na siyang magdidikta kung ano ang katanggap-tanggap (tama) o hindi
katanggap-tanggap (mali) sa loob ng abot tanaw ng sistemang ito.
Hawig
ang talakayang ito sa dati mong kasagutan noong isa ka pang maliit na bata kung
may magtatanong sa iyo ng 5-7. Malamang isasagot mo na hindi maaari (O kung
galing ka sa sosyal na paaralan, “Cannot
be” ang sambit mo.) at tapos ang usapan. Ngunit noong pumasok ka na sa
larangan ng algebra, natutunan mo na bahagi pala ng sistemang iyon ang mga
negatibong mga numero kung kaya’t 5-7=-2. Ang sistema nga naman ang nagdidikta
kung ano ang tamang sagot sa mga tambalang inihahain nito.
Mahalagang
paalala: tandaan na ang talakayan natin ay gumagalaw sa larangan ng matematika
at hindi ng moralidad kung kaya’t ginagamit natin ang mga salitang tama at mali batay sa paggamit ng mga sistema at hindi bilang mga kategorya
ng moralidad.
Mga
tanong para sa talaarawan:
1. Anong
mas malalim na pag-uunawa ang dulot ng ating natuklasang kamulatan dito na ang
sistema ang nagdidikta kung ano ang tama o mali para sa sistemang iyon at hindi
maaaring gamiting pamantayan ang ibang sistema para dito?
2. Sa
halimbawa ng dalawang tambalang ginamit natin dito, pwede kayang umisip ng
sistema kung saan kapwa o parehong tama ang dalawang tambalang ito? Ano ang
sinasabi tungkol sa kalikasan ng sistema ang sagot sa tanong na ito?
Mag-subscribe sa:
Mga Post (Atom)