Patuloy na Pagtataka sa Heometriya

Gumanap tayo ngayon ng pagmumuning hawig sa nauna ngunit ngayon naman tungkol sa heometriya. Malamang may mga elementong mauulit dito ngunit umaasa akong may bago din tayong makikita. Kung kaya’t pagtiyagaan natin.

Sabihin na nating may linya AB at may punto C na hindi bahagi ng linya AB. Ilang linya ang maaaring mabuo kung saan dadaan itong bagong linya sa punto at tatawid sa naunang linya sa paraang perpendicular (may 90 grado)?

Heto ang isang pigura:

Malamang ang isasagot mo ay “isa at isa lamang.” Hindi maaaring lumampas sa isa sapagkat isa nga lamang ang mabubuong linyang tutupad sa mga sinabing aksiyoma. Baka ganito ang iyong iniisip:

Malamang din para sa ilan sa inyo na nag-aaral ng kursong matematika o yaong mga naging mas maingat na sumagot sa mga tanong ko gawa na rin nang napaso o natuto na sa mga nangyari noon (sana mabuting bagay ito dahil nagiging mas kritikal at mapagmuni tayo), tama ang nasabin sagot kung ang heometriya ni Euklides ang pinag-uusapan. Ito ang tinatawag na klasikal na heometriya kung saan lahat ng mga pigurang pinag-uusapan ay nakalatag sa isang walang-hanggan at ganap na kapatagan. Bakit mahalagang punahin ito? Sapagkat hindi lamang ito ang kaisa-isahang heometriya. Katulad ng nakita natin sa decimal at binary sa naunang pagmumuni, maiiba ang sagot natin sa parehong katanungan kung ibang sistema ang ating gagalawan.

Paano kaya? Balikan mo ang linya AB at ang punto C. Kunin mo ang mga ito mula sa pinaglagyan nitong kapatagan ni Euklides at ilipat ito sa balat ng isang ganap na bola. Tapos tanungin mo muli ang parehong katanungan. Sa sandaling ito, magkakamali ka kung “isa” pa rin ang iyong isasagot. Sa kasong ito, ang tamang sagot ay higit sa isa sapagkat hindi mabibilang (maaaring gamitin ang kilalang salitang Latin dito: infinitum). Kung nalilito ka na, maghunus-dili ka at magdadahan-dahan tayo muli. Huwag mag-alala, may paraang pamilyar sa iyo na magagamit natin upang mas masakyan mo ito. Heto na:

Isipin mo ang representasyon ng mundo bilang globo. Ang ating linya AB ay ang linyang naghahati sa globo sa dalawang hiwa ng hilaga at timog. Ang tinutukoy ko ay ang siyang tinatawag na equator. Sa madaling salita, gawin mong equator ng globo ang linya AB. Nasaan naman sa globo ang punto C? Wala itong iba kundi ang ganap na hilaga (north pole). Handa na tayong harapin ang tanong. Ilan ang linyang mabubuo mo mula sa ganap na hilaga at dadaan sa equator nang bumubuo ng anggulong 90 ang grado? Nakikita mo na ba na ang hinahanap natin ay ang mga linya ng longgitudo ng globo? Sa globong tinitignan mo sa ibaba, iilan lamang ang mga nakamarkang longgitudo sapagkat kung imamarka lahat ng ito, hindi lamang mapupuno ang buong globo kaya’t hindi mo na mababasa ang iba pang impormasyon, pero imposibleng gawin ito sapagkat infinitum ang bilang ng mga posibleng maguhit na longgitudo. Samakatwid ang sagot sa tanong ay “hindi mabibilang” o “infinitum.”

Pareho lamang ang tanong ngunit magkaiba ang tamang sagot depende kung aling sistema ang ating ginagamit. Kung nasa kapatagan ni Euklides ang linya at punto, “isa” ang sagot. Kung nakalatag sa balat ng ganap na bola ang linya at punto, “infinitum” ang sagot. Muli, nakikita natin na ang sistema bilang pamantayan at sanggunian ang nagdidikta kung ano ang tamang sagot. Kung ano ang tama o mali ay hindi maaaring masagot sa labas ng sistema.

Pati ang mga depinisyo ng mga konsepto ay idinidikta ng sistema. Sa kapatagan ni Euklides, istriktong tuwid ang mga linyang nabubuo dala ng kalikasan mismo ng ganap niyang kapatagan. Sa heometriya sa bola, kurbada ang lahat ng linya (hindi nga ba’t ito ang mapapansin sa mga linya ng globo kahit pa longgitudo o latitudo ang pinag-uusapan?) na siyang dala din ng kalikasan mismo ng ganap na bola.

Nakikita mo na ba kung paanong may hawig tayong nakikitang nangyayari sa heometriya ni Euklides hambing sa heometriya sa bola at sa sistemang decimal hambing sa sistemang binary?

Upang lalong maunawaan ang mahiwagang kilos ng mga sistemang matematiko, lumipat tayo sandali at gamiting larawan ang mga larong pampalakasan bilang mga sistema. Hindi naman siguro lalabas na pambihira ang makikita natin ngunit sana ito’y makatulong. Maghambing tayo ngayon ng dalawang larong pwedeng asahang pamilyar sa ating lahat: ang basketbol at ang balibol.

Marami tayong maaaring pag-usapan dito tulad ng mga depinisyo ng mga hudyat na ginagamit. Ang parehong senyas ng kamay ay maaaring mangahulugang iba sa basketbol kumpara sa balibol. Pwedeng tignan ang iisang hudyat na babasahin bilang travelling sa basketbol ngunit babasahin naman bilang substitution sa balibol. Dito pa lamang, makikita ang sistema bilang kontekstong nagbibigay ng depinsyo sa hudyat.

Ngunit ang nais ko talagang gamiting larawan ay ang ugnayan ng manlalaro sa mga hangganang nakapinta sa sahig ng palaruan. Mapapansin mo sa basketbol na napaka-istrikto ng mga hangganang iyan at malaki ang epekto ng mga ito sa takbo ng laro. Kung ilalabas ang bola, dapat malinaw na nasa labas ng linya ang magpapasok nito sa pagpasa niya sa kakampi. Kapag naitawid na ng point guard ang bola sa gitnang guhit, bawal nang bumalik sa kabila ang apak niya o talbog ng bola (back court violation). Sa free throw, pwede lamang umapak ang mga manlalaro sa shaded lane kapag tumama na sa ring ang bola o kung naibuslo ito. Kung tumira ang manlalaro nang nakaapak sa three-point line, dalawang puntos lamang iyon kung naibuslo. Kung umapak ka sa sideline o endline habang hawak ang bola, mapupunta sa kalaban ang bola. Dahil dito, ang daming mga pagkakataong talagang hinahabol ng manlalaro ang bola bago ito lumabas sa guhit kahit pa mapatilapon siya sa mga kameraman o sa mga manonood.

Iba naman sa balibol. Sa isang banda, minamatyag at ginagalang din naman talaga sa balibol ang mga nasabing guhit. Sa service, dapat nasa labas ng endline ang gagawa nito. May linya sa gitna ng sahig na naghahati sa anim na manlalaro: tatlo sa harap at tatlo sa likod. Pwede lang gumawa ng spike ang nasa likod nang hindi lumalagpas sa linya. At siyempre dahil ang obhetibo ng balibol ay panatilihin sa ere ang bola, ang guhit din ang magdidikta kung “in” o “out” ang bola kapag bumagsak ito. Ngunit may malaking kaibahan pa rin sa basketbol. Kung nasa likod ang posisyon ko, maaari rin ako magspike sa kaliwa o kanan sa labas ng hangganan sa tamang distansya sa lambat. Kapag kakampi ko ang huling humawak ng bola, pwede ko ito habulin sa labas na linya at ipasok ulit. Sa balibol, good pa rin ang tirang iyon. Kung galing naman sa kalaban ang bola at palagpas na sa linya pero tinapik ko pa rin ito sa labas ng linya, good pa rin iyon.

Ano ang nais kong sabihin? Kung gagamitin mo ang basketbol bilang pamantayan sa balibol, masasabi mong napakaliberal pala ng balibol kasi pwedeng huwag pansinin ang mga linya tapos sa kabilang panig naman, sasabihin mong napakaistrikto naman ng basketbol kasi gigil na gigil sa mga linya ang mga manlalaro. Hindi nararapat ang ganitong mga husga dahil ginagamit mong pamantayan para sa isang laro ang larong naiiba dito. Sa ating talakayan, mahalagang maaalala na ang sistema ang nagdidikta ng sarili nitong mga depinsyo at aksiyoma.

Ganito rin ang makikita kahit pa pag-usapan natin ang mga mas bagong larong binatay sa mga lumang laro. Ang bagong laro ay magkakaroon na ng sarili nitong mga aksiyomang hindi na itinuloy mula sa larong pinanggalingan. Halimbawa, kahit pa nakabatay ang table tennis sa lawn tennis, ibang iba ang mga larong ito sa isa’t isa. Sa table tennis dapat patalbugin mo sa mesa mo ang bola kapag service.  Sa lawn tennis, diretso sa court ng kalaban ang talbog ng bola sa service. Sa table tennis, dapat hintayin mo tumalbog sa mesa mo ang bola bago ito hampasin. Sa lawn tennis pwede ka sumugod at hampasin ng raketa ang bola kahit hindi pa ito tumatalbog sa iyong court. Oo, nagmula nga sa lawn tennis ang table tennis ngunit ibang larong may sariling mga aksiyoma ang nahuli sa nauna. May sarili na itong patakarang hiwalay na sa lumang larong pinanggalingan.

At sa huli, maaari nating makita ang kaibahan ng dalawang tambalang mga tanong. Ang tambalan ng “meron / totoo ba?” ay naiiba sa tambalang “tama / umuubra ba?”

Manatili muna tayo sa larong pampalakasan sapagkat nariyan tayo ngayon. Kung sa balibol, sabihin nating tinanggap ng isang manlalaro ang bato ng service habang nasa labas na siya ng guhit, sasabihin mong totoong tinanggap niya ang bola at iyon ang meron ng nangyari. Iba ang tinutukoy mo kung tatanungin mo kung tama bang iyon ang kanyang ginawa o kung uubra ba ang kilos na iyon para magwagi ang kinabibilangan niyang koponan.

Ganito rin ang masasabi tungkol sa matematika. Sa tanong na 1+1=10, sasabihin mong tama ito o umuubra ito kung angkop na sistema ang gagalawan natin. Pero kung meron o totoo ito, nasa labas na tayo ng sistema dahil pwede lang ito pag-usapan sa aplikasyon ng nasabing tambalan sa meron.

Kung ilang guhit ang mabubuo natin sa loob ng patakaran ng heometriya, kitang-kita din natin ngayon na ang ganitong usapin ay gumagalaw din lamang sa larangan ng tama ba at kung umuubra ba. Hindi saklaw ng mga sistemang ito ang tanong na “totoo / meron ba?” dahil ang usaping totoo at meron na siyang usapin ng metapisika ay nasa labas ng mga hangganan ng sistema.

Mga tanong para sa talaarawan:

1. Bakit mahalagang ipagkaiba ang mga tanong na “tama /  umuubra ba?” sa “totoo / meron ba?” sa loob ng matematika? Anong mga gusot ang pinapasok natin kung napagkakamalan natin at napagbabaligtad natin sa isa’t isa ang mga tanong na ito? Paano lalong lumilinaw ang ginagalawan ng purong matemataka? Paano lalong lumilinaw ang ginagalawan ng mga aplikasyon?

2. Subukang ipakita kung paanong nililinaw ng kaibahan ng mga tanong na “totoo/meron ba?”  at “tama / umuubra ba?” ang ilang mga punto ukol sa kaugnayan ng batas sa meron. Pagmuni-munihan ang mga implikasyon ng pagmumulat sa kaibahan ng dalawang tambalang mga tanong na ito sa loob ng larangan ng batas; batas bilang sistema at ang kaugnayan nito sa meron.

3. Ano ang ibig sabihin ni Padre Ferriols sa linyang ito: “Ang sistemang laman ang lahat ay sistemang walang laman.” Ipaliwanag ang kanyang kahulugan at pagmunihan ang mga implikasyon nito.