Ano
ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:
1
+ 9 = 10
1
+ 1 = 10
Malamang
sasabihin mong tama ang una at mali ang huli. Kilos iyan ng matinong pag-iisip
kung saan babasahin mo ang unang tambalan bilang isa dagdagan ng siyam ay sampu
(samakatwid tama) at hindi sasang-ayon ang isip sa sandali ng pagbasa sa huli
na isa dagdagan ng isa ay sampu.
Kung
sinubaybayan mo sa huling talaarawan ang ilang mga tanong kung paanong may
bakas ng meron sa mga abstraksyo ng matematika, baka naaalala mong nabanggit na
sampu ang base ng lahat ng karaniwang sistema at wika ng pagbibilang sa buong
mundo. Ito malamang ay dala ng meron ng ating mga katawan na ipinagkaloob ng
sampung daliri. Hindi siguro malayo sa totoo kung sasabihin nating ang mga
daliri ang pangunahing instrumento ng pagbilang. Pati ang payak ngunit
epektibong abacus ay nakabase din sa sampu. Bago naimbento ng tao ang abacus,
nagbilang muna siya gamit ang mga daliri niya kaya ang lohika ng sampung daliri
ang naging basehan ng lohika ng abacus.
Kitang-kita
din ito sa dalawang sistema ng mga numero na naituro sa atin sa mababang
paaralan: ang sistemang Romano at ang sistemang Hindu-Arabo. Mapapansing ang
mga batayang titik ng alpabetong Romano na ginamit sa sistema ng numero ay may
kinalaman sa sampu. Tingnan: ang I ay isa, V ay lima, X ay sampu, L ay limampu,
C ay sandaan, D ay limandaan at M ay sanlibo. Hindi na rin dapat maging
kataka-taka na sa mga kasalukuyang patakaran ng mga salapi ng mga bangko
sentral ng samu’t saring mga bansa, ang mga numerong ito ang halaga ng mga
piraso ng pera; barya man o papel. Umiikot sa sampu ang sistemang nabuo.
Kung
susuriin naman ang sistemang Hindu-Arabo, mapapansing may sampu itong simbulo
na pinatatakbo sa isang partikular na paraan at bumubuo ng samu’t saring mga
kombinasyon upang bigyan ng representasyon ang anumang numero; buo (Latin: integer) man o basag (Latin: fractus/fractio). Simple lang ang lohika
ng sistema: patatakbuhin mo ang mga simbulo sa tamang pagkakasunud-sunod. Kapag
naubos mo na ang mga ito, magdadagdag ka ng bagong hilera sa kaliwa at tatakbo
muli sa parehong pagkakasunud-sunod ang mga numero. Kaya sa unang kaso, tatakbo
ang mga simbulo nang ganito: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Sa puntong ito nagamit na
natin ang lahat ng mga simbulo. Upang maipagpatuloy ang pagbibilang,
magdadagdag ka ng hilera sa kaliwa na umaayon din sa parehong
pagkakasunud-sunod: 10 (tapos 11 12 13 14 15 16 17 18 19) na susundan ng 20
(tapos 21 22 23 atbp…) na susundan naman ng 30, 40, 50, atbp.
Maaari
mong itanong: “Ito na ba ang lahat ng sistemang nabuo?” Iyan ang tanong na
maghahatid sa atin sa ating pagmumuni ngayon, sapagkat ang sagot sa tanong na
ito ay, “Hindi, dahil marami pang iba pang sistemang nabuo.”
Bagaman
tinamaan na natin sa itaas ang sistemang Romano at sistemang Hindu-Arabo,
kailangang aminin na kapwa pasok sa tinatawag na sistemang decimal ang mga ito
(mula sa Latin decimal: nakabase sa
sampu). May ibang maaaring mangyari kung iba ang magiging base ng sistema.
Pumulot tayo ng isa pang sistema, ang sistemang binary (binary: base sa
dalawa).
Dahil
dalawa ang base, dalawa rin lang ang simbulong gagamitin: 0 at 1. Pareho din
ang patakaran o takbo ng sistema tulad ng sa sistemang decimal (may
pagkakasunud-sunod ang mga simbulo at nagdaragdag ng bagong hilera sa katapusan
ng bawa’t pasada) ngunit dahil dalawa rin lamang ang simbulong gagamitin,
mabilis ang pagdagdag ng mga hilera. Upang bigyan ka ng ideya, narito ang
pagtutumbas ng representasyon ng parehong mga numero ng dalawang magkaibang
sistema:
Numero
|
Base 10
|
Base 2
|
Numero
|
Base 10
|
Base 2
|
zero
|
0
|
0
|
labing-isa
|
11
|
1011
|
isa
|
1
|
1
|
labindalawa
|
12
|
1100
|
dalawa
|
2
|
10
|
labintatlo
|
13
|
1101
|
tatlo
|
3
|
11
|
labing-apat
|
14
|
1110
|
apat
|
4
|
100
|
labinlima
|
15
|
1111
|
lima
|
5
|
101
|
labing-anim
|
16
|
10000
|
anim
|
6
|
110
|
labimpito
|
17
|
10001
|
pito
|
7
|
111
|
labinwalo
|
18
|
10010
|
walo
|
8
|
1000
|
labinsiyam
|
19
|
10011
|
siyam
|
9
|
1001
|
dalawampu
|
20
|
10100
|
sampu
|
10
|
1010
|
tatlumpu’t dalawa
|
32
|
100000
|
Teka
muna. Nalilito ko na ba? Magdahan-dahan tayo.
Patakbuhin
mo muli ang sistemang decimal ngunit ikaltas mo lahat ng mga numerong gumagamit
ng mga simbulong hindi bahagi ng sistemang binary (i.e. 2, 3,4,5,6,7,8, at 9)
0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 99 100 101 102 …109
110 111 112 … 999 1,000 1,001 1,002 … 1,009 1,010 1,011
1,012 … 1,099 1,100 1,101 1,102 ... 1,109 1,110 1,111
1,112 … 9,999 10,000 10,001 10,002 … 10,009 10,010
10,011 10,012 … 10,099 10,100 …
Tapos
ihilera mo lahat ng mga natirang numero ayon sa tamang pagkakasunud-sunod.
Hayaan mo lang ang mga laktaw, maliit man o malaki na dulot ng pagkaltas ng mga
numero sa itaas. Iyan na ang mga numerong binary na hinahanap natin. Tapos
ihanay ang mga ito sa (karaniwang) mga numerong alam na natin (iyan ang mga
numerong decimal). Ganito ang lalabas:
binary
|
0
|
1
|
10
|
11
|
100
|
101
|
110
|
111
|
1000
|
1001
|
1010
|
decimal
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
binary
|
1011
|
1100
|
1101
|
1110
|
1111
|
10000
|
10001
|
10010
|
10011
|
10100
|
decimal
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
Nakasunod
ka na ba? Mabuti. Pwede rin pag-usapan ang pormula kung kailan nagdaragdag ng
bagong hilera. Alam na natin na sa sistemang decimal, ang pormula ay 10n.
Sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng sampu, magpapakilala ka ng bagong
hilera. Maaring ihanay ng ganito:
100
|
101
|
102
|
103
|
104
|
105
|
0
|
10
|
100
|
1,000
|
10,000
|
100,000
|
Alam
na natin ito, hindi ba? Ang bilang ng zero kung susundan mo nito ang isang 1 ay
ang bilang din ng kapangyarihan ng sampu na katumbas ng numerong iyon. Sinasabi
ko lamang ito para itukoy na ganito din ang patakaran ng sistemang binary.
Magdaragdag ka ng bagong hilera sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng
dalawa, sapagkat ang pormula ay 2n. Tingnan muli ang bughaw na
hanayan sa itaas at pansinin kung paanong sa bawa’t kapangyarihan ng dalawa
nagaganap ang bagong hilera sa sistemang binary. Hahanguin ko ang mga bilang na
ito at ilalagay sa ibaba. Ganito ang lalabas. Isasama ko ang mga katumbas sa
decimal bilang gabay:
2n
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
binary
|
0
|
10
|
100
|
1000
|
10000
|
100000
|
decimal
|
0
|
2
|
4
|
8
|
16
|
32
|
Ang
bilang ng mga zero na isusunod mo sa 1 ang representasyon ng kapangyarihan ng
dalawa sa sistemang binary, sapagkat dalawa ang base ng sistema. Makikita ang
lohika nito at kung paanong hinuhubog nito ang magkaibang sistema kung ihahanay
naman natin nang ganito:
simbulo
|
decimal
|
bilang
|
binary
|
bilang
|
0
|
100
|
zero
|
20
|
zero
|
10
|
101
|
sampu
|
21
|
dalawa
|
100
|
102
|
sandaan
|
22
|
apat
|
1000
|
103
|
sanlibo
|
23
|
walo
|
10000
|
104
|
sampunlibo
|
24
|
labing-anim
|
100000
|
105
|
sandaanlibo
|
25
|
tatlumpu’t dalawa
|
Ngayong
nasakyan na natin ang galaw ng sistemang base 2 o binary, balikan natin ang
tanong sa simula ng paskil na ito.
Ano
ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:
1
+ 9 = 10
1
+ 1 = 10
Kung
sistemang binary ang gagamitin mo, sasabihin mong walang saysay ang unang
tambalan dahil naglalaman ito ng konseptong hindi bahagi ng sistema. Ang
konseptong tinutukoy ay ang kinakatawan ng simbulo 9. Walang nilalaman at
hangganan ang konseptong ito sa loob ng sistemang binary dahil hindi ito bahagi
ng sistema. Babasahin mo naman ang huli nang ganito: isa dagdagan ng isa ay
dalawa. Nararapat ito dahil ang konsepto na siyang kinakatawan ng simbulo 10 ay
ang numero dalawa. Ito ang nilalalaman at hangganan ng konsepto ng dalawa sa
loob ng sistemang binary. Samakatwid, sa sistemang binary, tama ang huling
tambalan.
Upang
ibuod, ito ang mga husgang mararating natin tungkol sa dalawang tambalan batay
sa sistemang ginagamit natin bilang sanggunian:
sistemang decimal
|
sistemang binary
|
|
1 + 9 = 10
|
tama
|
walang saysay
|
1 + 1 = 10
|
mali
|
tama
|
Dadalhin
tayo ng pagkamulat na ito sa isa pang palaisipan: posible kayang maibigay mong
husga ay na kapwa mali ang dalawang tambalang iyan? Oo, sapagkat maaaring mag-isip
o mas nararapat sabihing, meron nang nakaisip ng iba pang sistema kung saan
hindi sampu ni dalawa ang base bagkus ibang numero (Tatlo? apat? pito?
labindalawa? napakaraming pwedeng maging base ng sistema ng pagbilang) kung saan kapwa
magiging mali o walang saysay ang dalawang tambalang iyan.
Ano
ang punto ng mga pagmamasid na ito? May dalawa tayong nakita:
Kahit
hindi tayo mulat, ang pagsabi natin ng tama o mali ay batay sa sistemang naisip
nating gamitin. Sa karaniwang usapan, base 10 (decimal) ang sistemang
pinagbabasehan natin kaya’t karaniwang tanggap ang unang sagot sa simula ng
paskil na ito.
Napakarami
pala ng mga posibilidad ng mga bagong sistema na maaring mabuo sa larangan ng
aritmetika. At bawa’t sistemang nabubuo ay may sariling mga depinisyo at
aksiyoma na siyang magdidikta kung ano ang katanggap-tanggap (tama) o hindi
katanggap-tanggap (mali) sa loob ng abot tanaw ng sistemang ito.
Hawig
ang talakayang ito sa dati mong kasagutan noong isa ka pang maliit na bata kung
may magtatanong sa iyo ng 5-7. Malamang isasagot mo na hindi maaari (O kung
galing ka sa sosyal na paaralan, “Cannot
be” ang sambit mo.) at tapos ang usapan. Ngunit noong pumasok ka na sa
larangan ng algebra, natutunan mo na bahagi pala ng sistemang iyon ang mga
negatibong mga numero kung kaya’t 5-7=-2. Ang sistema nga naman ang nagdidikta
kung ano ang tamang sagot sa mga tambalang inihahain nito.
Mahalagang
paalala: tandaan na ang talakayan natin ay gumagalaw sa larangan ng matematika
at hindi ng moralidad kung kaya’t ginagamit natin ang mga salitang tama at mali batay sa paggamit ng mga sistema at hindi bilang mga kategorya
ng moralidad.
Mga
tanong para sa talaarawan:
1. Anong
mas malalim na pag-uunawa ang dulot ng ating natuklasang kamulatan dito na ang
sistema ang nagdidikta kung ano ang tama o mali para sa sistemang iyon at hindi
maaaring gamiting pamantayan ang ibang sistema para dito?
2. Sa
halimbawa ng dalawang tambalang ginamit natin dito, pwede kayang umisip ng
sistema kung saan kapwa o parehong tama ang dalawang tambalang ito? Ano ang
sinasabi tungkol sa kalikasan ng sistema ang sagot sa tanong na ito?
Walang komento:
Mag-post ng isang Komento