Lunes, Abril 13, 2020

Patuloy na Pagtataka sa Aritmetika


Ano ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:

1 + 9 = 10
1 + 1 = 10

Malamang sasabihin mong tama ang una at mali ang huli. Kilos iyan ng matinong pag-iisip kung saan babasahin mo ang unang tambalan bilang isa dagdagan ng siyam ay sampu (samakatwid tama) at hindi sasang-ayon ang isip sa sandali ng pagbasa sa huli na isa dagdagan ng isa ay sampu.

Kung sinubaybayan mo sa huling talaarawan ang ilang mga tanong kung paanong may bakas ng meron sa mga abstraksyo ng matematika, baka naaalala mong nabanggit na sampu ang base ng lahat ng karaniwang sistema at wika ng pagbibilang sa buong mundo. Ito malamang ay dala ng meron ng ating mga katawan na ipinagkaloob ng sampung daliri. Hindi siguro malayo sa totoo kung sasabihin nating ang mga daliri ang pangunahing instrumento ng pagbilang. Pati ang payak ngunit epektibong abacus ay nakabase din sa sampu. Bago naimbento ng tao ang abacus, nagbilang muna siya gamit ang mga daliri niya kaya ang lohika ng sampung daliri ang naging basehan ng lohika ng abacus.

Kitang-kita din ito sa dalawang sistema ng mga numero na naituro sa atin sa mababang paaralan: ang sistemang Romano at ang sistemang Hindu-Arabo. Mapapansing ang mga batayang titik ng alpabetong Romano na ginamit sa sistema ng numero ay may kinalaman sa sampu. Tingnan: ang I ay isa, V ay lima, X ay sampu, L ay limampu, C ay sandaan, D ay limandaan at M ay sanlibo. Hindi na rin dapat maging kataka-taka na sa mga kasalukuyang patakaran ng mga salapi ng mga bangko sentral ng samu’t saring mga bansa, ang mga numerong ito ang halaga ng mga piraso ng pera; barya man o papel. Umiikot sa sampu ang sistemang nabuo.

Kung susuriin naman ang sistemang Hindu-Arabo, mapapansing may sampu itong simbulo na pinatatakbo sa isang partikular na paraan at bumubuo ng samu’t saring mga kombinasyon upang bigyan ng representasyon ang anumang numero; buo (Latin: integer) man o basag (Latin: fractus/fractio). Simple lang ang lohika ng sistema: patatakbuhin mo ang mga simbulo sa tamang pagkakasunud-sunod. Kapag naubos mo na ang mga ito, magdadagdag ka ng bagong hilera sa kaliwa at tatakbo muli sa parehong pagkakasunud-sunod ang mga numero. Kaya sa unang kaso, tatakbo ang mga simbulo nang ganito: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Sa puntong ito nagamit na natin ang lahat ng mga simbulo. Upang maipagpatuloy ang pagbibilang, magdadagdag ka ng hilera sa kaliwa na umaayon din sa parehong pagkakasunud-sunod: 10 (tapos 11 12 13 14 15 16 17 18 19) na susundan ng 20 (tapos 21 22 23 atbp…) na susundan naman ng 30, 40, 50, atbp.

Maaari mong itanong: “Ito na ba ang lahat ng sistemang nabuo?” Iyan ang tanong na maghahatid sa atin sa ating pagmumuni ngayon, sapagkat ang sagot sa tanong na ito ay, “Hindi, dahil marami pang iba pang sistemang nabuo.”

Bagaman tinamaan na natin sa itaas ang sistemang Romano at sistemang Hindu-Arabo, kailangang aminin na kapwa pasok sa tinatawag na sistemang decimal ang mga ito (mula sa Latin decimal: nakabase sa sampu). May ibang maaaring mangyari kung iba ang magiging base ng sistema. Pumulot tayo ng isa pang sistema, ang sistemang binary (binary: base sa dalawa).

Dahil dalawa ang base, dalawa rin lang ang simbulong gagamitin: 0 at 1. Pareho din ang patakaran o takbo ng sistema tulad ng sa sistemang decimal (may pagkakasunud-sunod ang mga simbulo at nagdaragdag ng bagong hilera sa katapusan ng bawa’t pasada) ngunit dahil dalawa rin lamang ang simbulong gagamitin, mabilis ang pagdagdag ng mga hilera. Upang bigyan ka ng ideya, narito ang pagtutumbas ng representasyon ng parehong mga numero ng dalawang magkaibang sistema:

Numero
Base 10
Base 2
Numero
Base 10
Base 2
zero
0
0
labing-isa
11
1011
isa
1
1
labindalawa
12
1100
dalawa
2
10
labintatlo
13
1101
tatlo
3
11
labing-apat
14
1110
apat
4
100
labinlima
15
1111
lima
5
101
labing-anim
16
10000
anim
6
110
labimpito
17
10001
pito
7
111
labinwalo
18
10010
walo
8
1000
labinsiyam
19
10011
siyam
9
1001
dalawampu
20
10100
sampu
10
1010
tatlumpu’t dalawa
32
100000

Teka muna. Nalilito ko na ba? Magdahan-dahan tayo.

Patakbuhin mo muli ang sistemang decimal ngunit ikaltas mo lahat ng mga numerong gumagamit ng mga simbulong hindi bahagi ng sistemang binary (i.e. 2, 3,4,5,6,7,8, at 9)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1299 100 101 102109 110 111 112999 1,000 1,001 1,0021,009 1,010 1,011 1,0121,099 1,100 1,101 1,102 ... 1,109 1,110 1,111 1,1129,999 10,000 10,001 10,00210,009 10,010 10,011 10,01210,099 10,100 …

Tapos ihilera mo lahat ng mga natirang numero ayon sa tamang pagkakasunud-sunod. Hayaan mo lang ang mga laktaw, maliit man o malaki na dulot ng pagkaltas ng mga numero sa itaas. Iyan na ang mga numerong binary na hinahanap natin. Tapos ihanay ang mga ito sa (karaniwang) mga numerong alam na natin (iyan ang mga numerong decimal). Ganito ang lalabas:

binary
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
  
binary
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
decimal
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Nakasunod ka na ba? Mabuti. Pwede rin pag-usapan ang pormula kung kailan nagdaragdag ng bagong hilera. Alam na natin na sa sistemang decimal, ang pormula ay 10n. Sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng sampu, magpapakilala ka ng bagong hilera. Maaring ihanay ng ganito:

100
101
102
103
104
105
0
10
100
1,000
10,000
100,000

Alam na natin ito, hindi ba? Ang bilang ng zero kung susundan mo nito ang isang 1 ay ang bilang din ng kapangyarihan ng sampu na katumbas ng numerong iyon. Sinasabi ko lamang ito para itukoy na ganito din ang patakaran ng sistemang binary. Magdaragdag ka ng bagong hilera sa bawat pagpasok ng bagong kapangyarihan ng dalawa, sapagkat ang pormula ay 2n. Tingnan muli ang bughaw na hanayan sa itaas at pansinin kung paanong sa bawa’t kapangyarihan ng dalawa nagaganap ang bagong hilera sa sistemang binary. Hahanguin ko ang mga bilang na ito at ilalagay sa ibaba. Ganito ang lalabas. Isasama ko ang mga katumbas sa decimal bilang gabay:

2n
20
21
22
23
24
25
binary
0
10
100
1000
10000
100000
decimal
0
2
4
8
16
32
 
Ang bilang ng mga zero na isusunod mo sa 1 ang representasyon ng kapangyarihan ng dalawa sa sistemang binary, sapagkat dalawa ang base ng sistema. Makikita ang lohika nito at kung paanong hinuhubog nito ang magkaibang sistema kung ihahanay naman natin nang ganito:

simbulo
decimal
bilang
binary
bilang
0
100
zero
20
zero
10
101
sampu
21
dalawa
100
102
sandaan
22
apat
1000
103
sanlibo
23
walo
10000
104
sampunlibo
24
labing-anim
100000
105
sandaanlibo
25
tatlumpu’t dalawa


Ngayong nasakyan na natin ang galaw ng sistemang base 2 o binary, balikan natin ang tanong sa simula ng paskil na ito.

Ano ang masasabi mo tungkol sa mga matematikong tambalang ito:

1 + 9 = 10
1 + 1 = 10

Kung sistemang binary ang gagamitin mo, sasabihin mong walang saysay ang unang tambalan dahil naglalaman ito ng konseptong hindi bahagi ng sistema. Ang konseptong tinutukoy ay ang kinakatawan ng simbulo 9. Walang nilalaman at hangganan ang konseptong ito sa loob ng sistemang binary dahil hindi ito bahagi ng sistema. Babasahin mo naman ang huli nang ganito: isa dagdagan ng isa ay dalawa. Nararapat ito dahil ang konsepto na siyang kinakatawan ng simbulo 10 ay ang numero dalawa. Ito ang nilalalaman at hangganan ng konsepto ng dalawa sa loob ng sistemang binary. Samakatwid, sa sistemang binary, tama ang huling tambalan.

Upang ibuod, ito ang mga husgang mararating natin tungkol sa dalawang tambalan batay sa sistemang ginagamit natin bilang sanggunian:


sistemang decimal
sistemang binary
1 + 9 = 10
tama
walang saysay
1 + 1 = 10
mali
tama

Dadalhin tayo ng pagkamulat na ito sa isa pang palaisipan: posible kayang maibigay mong husga ay na kapwa mali ang dalawang tambalang iyan? Oo, sapagkat maaaring mag-isip o mas nararapat sabihing, meron nang nakaisip ng iba pang sistema kung saan hindi sampu ni dalawa ang base bagkus ibang numero (Tatlo? apat? pito? labindalawa? napakaraming pwedeng maging base ng  sistema ng pagbilang) kung saan kapwa magiging mali o walang saysay ang dalawang tambalang iyan.

Ano ang punto ng mga pagmamasid na ito? May dalawa tayong nakita:
Kahit hindi tayo mulat, ang pagsabi natin ng tama o mali ay batay sa sistemang naisip nating gamitin. Sa karaniwang usapan, base 10 (decimal) ang sistemang pinagbabasehan natin kaya’t karaniwang tanggap ang unang sagot sa simula ng paskil na ito.
Napakarami pala ng mga posibilidad ng mga bagong sistema na maaring mabuo sa larangan ng aritmetika. At bawa’t sistemang nabubuo ay may sariling mga depinisyo at aksiyoma na siyang magdidikta kung ano ang katanggap-tanggap (tama) o hindi katanggap-tanggap (mali) sa loob ng abot tanaw ng sistemang ito.

Hawig ang talakayang ito sa dati mong kasagutan noong isa ka pang maliit na bata kung may magtatanong sa iyo ng 5-7. Malamang isasagot mo na hindi maaari (O kung galing ka sa sosyal na paaralan, “Cannot be” ang sambit mo.) at tapos ang usapan. Ngunit noong pumasok ka na sa larangan ng algebra, natutunan mo na bahagi pala ng sistemang iyon ang mga negatibong mga numero kung kaya’t 5-7=-2. Ang sistema nga naman ang nagdidikta kung ano ang tamang sagot sa mga tambalang inihahain nito.

Mahalagang paalala: tandaan na ang talakayan natin ay gumagalaw sa larangan ng matematika at hindi ng moralidad kung kaya’t ginagamit natin ang mga salitang tama at mali batay sa paggamit ng mga sistema at hindi bilang mga kategorya ng moralidad.



Mga tanong para sa talaarawan:

1. Anong mas malalim na pag-uunawa ang dulot ng ating natuklasang kamulatan dito na ang sistema ang nagdidikta kung ano ang tama o mali para sa sistemang iyon at hindi maaaring gamiting pamantayan ang ibang sistema para dito?

2. Sa halimbawa ng dalawang tambalang ginamit natin dito, pwede kayang umisip ng sistema kung saan kapwa o parehong tama ang dalawang tambalang ito? Ano ang sinasabi tungkol sa kalikasan ng sistema ang sagot sa tanong na ito?  

Walang komento:

Mag-post ng isang Komento