Naaaninag ang meron sa loob ng sipnayan

Magandang araw sa inyo! Handa na naman ba kayo sa patuloy na pagmumuni-muni sa matematika? Kung sakaling nagugulat kayo’t agarang dumami ang mga paskil ko ngayong linggo, epekto ito ng naideklarang pagtatapos ng ating semestre sa 8 Mayo. Para matapos natin ang Agham at Meron, kailangan nating tapusin ngayong linggo ang talakayan tungkol sa matematika upang makatawid na rin tayo agad sa aktwal na paksa ng kasalukuyan nating yugto: ang agham.

Sa huli nating talakayan, tinignan natin ang purong aritmetika at purong heometriya at nakita natin ang pagkilos ng samu’t saring mga sistemang gumagalaw din sa purong isip. Hindi nga ba’t nalinaw na natin noon na wala sa meron ang sistema. Ang sistema ay palaging abstraksyo, palaging gumagalaw sa purong isip, bagaman tulad ng konsepto’y nakabatay pa rin sa meron. Ang pagmumulat na ito ay naghatid sa atin  ng pag-uunawa sa kilos sa isip ng mga konsepto’t sistema. Ang tamang sagot sa mga palaisipang matematiko ay palaging gumagalaw sa loob ng mga aksiyoma ng partikular na sistema. Hindi mo mapagagalaw sa isip ang sistema hangga’t hindi malinaw sa iyo ang mga aksiyoma ng sistema. Kaya’t sa mga hindi pa sanay sa sistemang binary at sa heometriya sa bola, kinailangan pa ninyo sakyan ang mga aksiyoma ng mga sistemang ito na di hamak na naiba sa mga sistemang kilala niyo na, tulad ng sistemang decimal at heometriya ni Euklides.

Noong ipinasok natin sa usapan ang mga larong pampalakasan, nakita nating may mga aksiyoma ang bawa’t laro na may kasarinlan hambing sa iba pang mga laro kahit pa may hawig ang mga larong ito sa isa’t isa. Sa sandaling sumali ka sa larong basketbol, pumapasok ka na sa loob ng sistema na may sariling mga patakaran na hiwalay sa totoong buhay. Sa sistemang ito, ang bola ang pinakamahalaga kung kaya’t alam mo sa bawa’t sandali kung nasaan ang bola at uubusin mo ang iyong enerhiya upang maibuslo ito at makapuntos ayon sa mga patakaran ng laro. Kaya’t hindi pagmamalabis kung sasabihing handa ang manlalaro magpakamatay para sa bola. Hahabulin niya ito kahit pa masaktan siya. Kung tama o mali, kung umuubra o hindi ang kanyang mga gawain ay nakabatay sa mga patakaran ng laro. Kapag tapos na ang laro, bumabalik na sa tunay na buhay ang manlalaro, ililigpit ang bola at mawawalan na ito ng halaga hanggang sa susunod na laro. Bumabalik na siya sa meron at totoong nangyayari sapagkat hindi na siya manlalarong gumagalaw lamang sa laro, tao na siyang gumagalaw muli sa meron.

Baka makatulong kung ibabalik natin muli ang krokis na ito mula sa nauna pang talakayan:

May teknikal na salitang pangmatematika para sa matematika bilang purong isip, mga sistema sa isip. Ginagamit din ni Padre Ferriols ito: ang salitang sipnayan, na dinaglat mula sa isip-hanayan na hango naman sa Filipinong parirala na paghahanay ng isip. Kahit pa nasa loob tayo ng sipnayan, may mga bakas ng meron ang sistema dahil sa simula’t sapul pa ay hinango (i.e. inabstraksyo) ang sistema mula sa meron. Bilang pagbubuod sa ugnayan ng matematika sa meron, itinuturo sa ating atensyon ni Padre Ferriols na may apat na paraan kung paanong naaaninag natin ang meron sa loob ng abstraksyo. Isa-isahin natin ngayon ang mga ito:

Unang pag-aninag: may batayang oo at hindi ang bawa’t sistema

Kung meron ang pinag-uusapan, kitang kita na ang taong matino ay umooo sa meron at humihindi sa wala. Oo, merong Benedict Cumberbatch, pero walang Doctor Stephen Strange. Merong Tom Holland, pero walang Peter Parker. Sa matematika naman, kahit pa gumagalaw sa purong isip, may batayang oo o hindi na nagbibigay-kaayusan sa sistema. Ang 2+3 ay 5 at may tatlong sulok ang tatsulok. Ayon sa batayang oo at hindi ng sistemang decimal, mali ang 1+1=10 ngunit ayon naman sa batayang oo at hindi ng sistemang binary, ooo ka sa 1+1=10.

Ikalawang pag-aninag: inuutusan ng sistema ang gumagamit nito na tumalima dito

Ang utos ng pamahalaan na manatili tayo ngayon sa sari-sarili nating mga bahay ay hindi utos na absoluto. Batay ang utos na ito sa meron. Sapagkat bahagi ng meron ngayon ang pagragasa ng salot na karamdamang nakahahawa. Kailangan kong sumunod sa utos ng meron. Kaya’t kung humaharap ka sa salamin, tumatalima ka ba sa utos ng meron kung ang nakikita mo sa salamin ay guwapo/maganda? Sa loob naman ng sipnayan ng matematika, tama o mali ang sagot mo sa pagsusulit hindi dahil sinabi ng guro, hindi dahil sinabi ng aklat, pero dahil utos ito ng sistemang ginagamit ninyo. Hindi batay sa kahiligan lamang ni Euklides kung anu-ano ang nilalaman ng mga pambihira niyang mga teorema. Si Euklides nga ang nag-imbento ng kanyang sistema pero ang mga kilos nito ay tinatanggap mo hindi dahil sinabi ang mga ito ni Euklides. Kung sumusunod ang iyong isip sa utos ng sistemang binubuo niya, makikita mo para sa iyong sarili na ganoon nga ang teorema.

Ikatlong pag-aninag: ang matematika ay ginagawa

Malinaw na siguro sa ating lahat na hindi mo lamang pinapanood sa balita na marong salot ngayon. Ngunit kailangan mo ring isagawa ang mga implikasyon ng meron na ito. Ang panawagan sa atin ngayon ng meron ay mag-ingat, manatiling malusog, magpasensya, tumulong kung may pagkakataon. Sapagkat ang pagbigkas sa meron ay isa ring paggawa (balikan ang paborito ninyong si Tswang Tsu). Paano ito naaaninag sa matematika? Kung ikaw katulad ko noon na nanonood lang sa guro ng matematika at naghihintay marating niya sa pisara ang mga tamang sagot para kopyahin it sa iyong kwaderno at hindi ginagawa ang mga ehersisyong takdang aralin mula sa aklat ng matematika, ano ang malamang nangyari sa iyo pagdating ng pagsusulit? Bokya! Habang blangko ang isip mo at sulat ng sulat ng kanilang mga solusyon ang mga kaklase mo, iniisip mo na alam mo dapat ito dahil pinanood mo kung paano ito ginawa ng guro sa pisara at sinubaybayan mo naman ang bawat leksyon. Hindi kasi natin ginawa. Ang meron at matematika ay hindi pwedeng parang youtube na pinanonood lang para maaliw tapos akala mong alam mo na. Kaya pala punung-puno ng ehersisyo ang aklat ng matematika. Hindi ito ginawa ng mga may-akda dahil sadista sila at gusto nilang pahirapan ang mge estudyante.  Binuo nila  ang mga ehersisyo upang humusay at gumaling ang mga estudyante, o sa madaling salita, matuto ang estudyante kung paano magmatematika. Pero mangyayari lamang ito kung gagawin ng estudyante ang matematika. Ang galing ano? Hindi pa huli ang lahat para matuto tayo. May aninag nga ng meron sa matematika.

Ikaapat na pag-aninag: palaging meron pa

Kapag meron ang pinag-uusapan, hindi pwedeng sabihing, “iyon lang,” o “tapos na.” Kaya nga sa nakaraan nating buhay kung kailan nagtatagpo pa tayo sa silid-aralan at may nagbibigay ng repetitio, ikinaiinis ko kung tinatapos ng estudyante ang kanyang ulat ng mga salitang iyan. Hindi pwedeng sabihing “iyon lang” dahil hindi nga nasasabi ang pinakamahalaga. Hindi pwedeng sabihing “tapos na” dahil palaging may susunod na kabanata, palaging meron pa. Hindi tayo makararating sa puntong alam na natin ang lahat dahil napakalawak ng meron at napakaliit ng tao. Ano naman ang nakita natin sa matematika? Akala mo noon (at ng maraming iba pang tao) na nahuli na ng sistemang decimal ang lahat ng posibleng pagbibilang; ng sistema ni Euklides ang balangkas ng buong mundo, nagulat ka na marami pa palang iba pang mga sistemang naisip bukod sa mga ito at malamang marami pang mga sistemang maiisip ng mga dalubhasa ng matematika sa hinaharap. At salamat dito dahil may mga praktikal itong epekto sa tunay na mundo. Alam niyo na ang sistemang binary ang basehan ng patakaran ng mga kompyuter kung kaya’t utang din natin sa pag-imbento ng sistemang binary ang kasalukuyan nating pagtatagpo online: sa pamamagitan ng mga sistema ng mga kompyuter. Dahil sa mga bagong sistemang nabubuo, lumalago ang mga sistemang pansalapi tulad ng mga bangko, gumagalaw ng mas epektibo ang mga ekonomiya at nakagagawa ng mga mas mahusay na pangangasiwa ang mga pamahalaang bukas sa bagong mga pamamaraan.

Hindi nga meron ang matematika ngunit dahil nga inabstraksyo ito mula sa meron, may mga pag-aaninag sa meron kahit sa loob ng sipnayan ng matematika. Dito natin nababakasan ang kaugnayan ng matematika sa meron.

Siguradong hindi natin natalakay ang lahat ng masasabi ngunit sabihin na nating sapat na ang mga pagmamasid na ginawa natin upang tumawid na sa tunay na paksa ng ating talakayan. Dinaanan lamang natin ang matematika bilang paghahanda, bilang pagmamasid sa mga batayan. Sa susunod kong paskil, sisimulan na natin ang paksa ng agham. Tuloy lang sa pagbabasa at pagtataka.

Mga gabay para sa talaarawan:

1. Bagaman sinabi na nating abstraksyo lamang ang matematika, sa paanong paraan may mahalaga pa rin itong papel na ginagampanan sa pagbigkas sa talagang meron?

2. Paano nagbibigay sa iyo ang talakayang ito ng paghanga sa kayang gawin ng isip ng tao? Paano ring ito naghahatid sa iyo ng paninindigang mapagkumbaba sa harap ng lawak ng meron?

3. Nabanggit ni Padre Ferriols si Kurt Gödel. Sino siya? Paano niya nabago ang pag-uunawa ng mga matematiko sa matematika? Ano ang mga implikasyon ng kanyang natuklasan sa kalagayan ng mga sistema sa harap ng meron?

4. Pagmunihan ang linyang ito mula kay Padre Ferriols: "Kapag hindi gising ang ating isip, baka pansinin na lamang natin ang pagkahawig ng matematika sa pagbigkas sa meron, ng anino sa umaanino, at makaligtaan pa natin na mas mabisang di hamak ang pagkaiba. Ubod ng lalim ang bangin na hinihiwalay ang pagmamatematika sa anumang pagbigkas sa meron."