Paano naman kaya ang heometriya?

Nais kong simulan ang paskil na ito sa isang tanong:

May sagot ka na ba sa tanong na ito? Sagutin mo muna at magpasya kung ano ang iyong sagot bago tumuloy sa anumang mga nakasulat sa ibaba. Huwag magmiron o tumambay. Manindigan sa iyong sagot. Tama ka man o mali, mas may matututunan ka kaysa maghintay lang mamaya kung ano ang tamang sagot. Ano na? A, o B, o C? May sagot ka na? O sige, tuloy na tayo…

Repetitio muna. Ang itinawag ni Padre Ferriols sa aritmetika ay pagbilang nang walang binibilang. Pinatatakbo ang sistemang ito sa purong isip kung saan wala talagang binibilang na tunay na meron. Sa sandaling ginamit ang aritmetika sa meron (aplikasyon), nagiging na itong pagbibilang nang may binibilang. Mula dito, may nakita na tayong siklo ng abstraksyo at aplikasyon:

Kung lilipat naman tayo ngayon sa paksa ng heometriya, ang isip ay lilipat mula sa mga abstraksyo ng bilang patungo sa mga abstraksyo ng kalawakan (o espasyo). Anu ano ba ang mga inaabstraksyo ng heometriya mula sa kalawakan? Sagot: mga pigura at hugis. Ginagamit ni Padre Ferriols ang mga salitang ito sa teknikal na pamamaraan kung kaya’t mahalaga ilatag ang ilang mga depinisyo: ang pigura ay ang pagkakalatag ng isang katawan sa dalawang dimensyon. Sa kaso ng mga pigura, dalawa lamang ang sinusukat: haba at lapad lamang.  Ang hugis ang pagtirik ng isang katawan sa tatlong dimensyon. Sa kaso ng mga hugis, tatlo naman ang sinusukat: haba, lapad, at taas. Magagamit pa rin natin ang naibigay na krokis sa ganitong paraan:

Kung babalikan naman natin ang nasabi na sa pagbilang at pagsukat, masasabi natin na ang nakita natin sa aritmetika ay makikita rin sa heometriya. Sa siping ito ni Padre Ferriols, tumutukoy ang pagbilang sa aritmetika at tumutukoy naman ang pagsukat sa heometriya:

Kaya tuwing pinag-uusapan natin ang heometriya, gumagalaw din tayo sa purong isip. Kung sinubaybayan mo ang pagtalakay ni P. Ferriols sa mga batayang konsepto ng heometriya mula sa purong kapatagan, punto, linya, at iba pa, naipakita niya sa iyo na ang lahat ng ito ay nangyayari sa purong isip, sa mundo ng abstraksyo.

Ang puro at ganap na kapatagan ni Euklides (EuklidhV) ay nagaganap lamang sa purong isip. Maari mong iabstraksyo ito mula sa meron. Tingnan ang sahig ng basketball court. Isiping ganap na ganap ito at walang lamat o gaspang o anuman: patag na patag. Isipin mo ring umuunat ito nang walang hanggan sa lahat ng direksyon. Sa sandaling ito, iniwan mo na ang basketball court na nasa meron at bumuo ka na sa isip mo ng ganap na kapatagan sa patakaran ni Euklides.

Ganito rin ang ginagawa ng isip sa pag-abstraksyo ng mga purong pigura (parihaba, bilog, parisukat, atbp.) mula sa mga may pigura (mesa, barya, palaruan ng chess, atbp.). Ganito rin ang ginagawa ng isip sa pag-aabstraksyo ng mga purong hugis (hugis-bola, kubo, silindro, atbp.) mula sa mga may hugis (bola, bahay kubo, dram o tangke ng tubig, atbp.).

Sa iyong pagdalo sa klase sa heometriyo noon, pumasok ka sa daigdig na ito ng purong isip kung saan lahat ng mga linya (parallel man o perpendicular) ay sa isip lamang nagaganap. Ang mga nakasulat sa aklat, sa pisara o sa kwaderno ay mga representasyon lamang ng mga nangyayari sa isip ng may-akda ng aklat, sa isip ng guro, at sa isip ng estudyanteng nakauunawa sa leksyon. Kaya ang punto ay purong lokasyon, walang haba o lapad o taas. Ang linya ay purong haba: walang lapad o taas. Pero ang mga punto at linya sa pisara, sa aklat, at sa kwaderno ay may katiting na haba, katiting na lapad, at katiting na taas.

Ngayon handa na tayong balikan ang ating bugtong sa simula ng paskil na ito. Ibigay muna natin ang depinisyo ng right triangle. Ang right triangle ay isang tatsulok kung saan ang isa sa mga sulok nito ay may sukat na siyamnapung (90) grado. Kung ito muna ang tatanungin, ano ang iyong isasagot:

B ba ang iyong sagot? Madaling maunawaan ang sagot na ito sapagkat nakikita ng mata na ang pigura B lamang ang tumutupad sa nasabing depinisyo ng right triangle. Ngunit, maghunus-dili muna tayo. Tandaan mula sa talakayan natin sa itaas na ang heometriya ay hindi naaayon sa nakikita ng mata sa meron, bagkus sa nakikita ng isip sa daigdig ng purong isip. Ang dapat nating tanungin ay kung tinutupad ba ng tatsulok sa isip ang nasabing depinisyo. Hindi ito tanong kung nakukumpirma ba ng nakikita sa mata ang depinisyo.

Malamang hindi mo napansin sa klase ng heometriya na may paraan ang heometriya sa pagtalaga kung nasusunod ba ng pigura ang depinisyo ng right triangle. Ang lahat ng representasyon ng right triangle ay may marka ang sulok na may sukat na siyamnapung (90) grado. Ang mala-kantong marka na ito ay sapat na upang masabing siyamnapu (90) ang sukat ng sulok. Hindi na kailangang tantiyahin ng mata o sukatin ng instrumento (tulad halimbawa ng protractor). Wala naman kasi sa pisara o papel ang tatsulok, bagkus nasa isip. Ganito:

Nahulaan at nasundan mo na ba kung saan tayo papunta mula sa puntong ito? Balikan natin ang tanong sa simula:

Samakawid, ang tamang sagot ay tatsulok C. Sa tatlong ito, ang tatsulok C ang right triangle. Ikaw ba ay nagagalit na para bagang na-onse na naman kita tulad ng birong parallel-perpendicular? Maari mong iprenta ang larawang ito at ipakita sa akin pagkatapos ng ECQ at dala ang isang protractor, ipakita sa akin na ang tatsulok B ang tumutupad sa sukat na siyamnapung (90) grado. Kapag ginawa mo ito, sasang-ayon ako sa iyo, na ang tatsulok B na nasa papel mo ang may siyamnapung (90) grado. Ngunit, hindi natin pinag-uusapan ang mga tatsulok  na nakprenta sa papel. Ang mga tatsulok na pinag-uusapan ay nasa isip. At sapat na ang markang inilagay sa tatsulok C para sumang-ayon ang isip na right triangle nga ito.

Tandaan: ang matematika ay nasa isip lamang. Ganito ang kilos ng aritmetika, heometriya, at lahat ng samu’t saring sanga ng matematika.

Pero siyempre, iba ang nangyayari kapag aplikasyon na ang pinag-uusapan. Tingnan mo ang mga sulok ng kwarto kung nasaan ka ngayon. Upang masigurado ng mga karpintero at mason na siyamnapung (90) grado nga ang sukat ng mga sulok na ito, gumamit sila ng mga iskwala (Isang hugis L na instrumentong pangsukat ng mga anggulo. Tulad ng nibel at katam, na ipinakita ko sa inyo noon, meron din nito sa baul ng lolo kong nagkarpintero ng mga laruan para sa tatay ko. Wala pa kasing Lego noon.)  at dapat lang sumunod sa nakikita ng mata ayon sa sukat ng instrumento ang kahoy o simentong inaareglo ng mga karpintero o mason. Kung hindi, tabi-tabingi ang bahay tulad ng lumang birong Bisaya: “Ang balay ni Libay, libat.” At dapat kang maawa kay Libay sapagkat hindi mo gugustuhing tumira sa tagi-tagilid na bahay.

Mga katanungan para sa talaarawan:

1. Saliksikin ang samu’t saring abstraksyo ng matematika at hanapin kung paano ito kinuha sa meron:

Bakit kaya base sa 10 ang lahat ng sistema at wika ng pagbibilang sa buong mundo?

Saan galing ang konsepto ng dosena?

Bakit sa 24 oras hinati ang maghapon at magdamag? Sa 60 ang oras at minuto, pero ang segundo, sa 100 piraso hinati?

Sino nagsabing hatiin dapat sa 360 grado ang bilog? Ano ba ang binilang nilang may bilang na 360 at naging simbulo ang bilog ng binilang na ito?

2. Anong abstraksyo kaya ang pinanggalingan ng isang dosenang pulgada sa isang talampakan (o sa Español: pie) at tatlong talampakan sa isang yarda. Kaninong paa ba ang naging pamantayan ng lumang sukat na ito?

Anong pangangailangan sa meron ang nagtulak sa mga modernong ekspertong imbentuhin ang sistemang metriko?

3. Bakit heometriya ang itinawag ng mga Griyego sa matematikang ito na minana nila mula sa Ehipto?

4. Akala mo dati na zero (0) ang wala tapos sa klase mo sa algebra, may mga numero pa palang mas mababa pa sa zero (0). Ano ang aplikasyon sa meron ng mga negatibong numero ng algebra? 

5. Luminaw ba ngayon o lalo ka lang nalito sa relasyon ng matematika sa metapisika?

6. Kung gusto mo naman pagtakahan pa si right triangle, anu-ano ba ang mga abstraksyo at aplikasyong nagsilang sa trigonometriya (o ano ang kinalaman ng trigonometriya sa meron)?

Kung ang reaksyon mo sa lahat ng ito ay ganito:

“Sapat na dahilan ito para sabihing kumplikado lang talaga ang buhay at sana hindi na inimbento ng matatalinong tao ang matematika para hindi na lalong maging kumplikado ang buhay,”

Payo ko: tumingin ka ulit at baka may nakaligtaan ka lamang na mahalaga.

At sa huli, kung ang reaksyon mo sa lahat ng ito ay napakahiwaga pala ng daigdig, binabati kita dahil sa wakas hinayaan mong may maipakitang mahalaga sa iyo ang metapisika. Oo, masalimuot ang matematika at masalimuot din ang meron. Pero heto, salamat at nabubuhay tayo sa loob ng mga hiwagang naipapakita sa atin ng daigdig. Sa panahon ngayon na nasa panganib ang ating sibilisasyon, malaking bagay ang mabuhay at makilala ang hiwaga ng ating sibilisasyon.