Ang aritmetika ay abstraksyo

Ang konsepto ay galing sa meron sapagkat inabstraksyo mula sa meron. Tuwing gumagamit ako ng konsepto, ibinabalik ko sa meron ang nabuong konsepto sa pamamagitan ng angkop na aplikasyon.

Halimbawa: kaya kong bumuo ng konsepto ng bola sa aking isipan. Inabstraksyo ko ito mula sa karanasan ko ng mga bolang meron. Tuwing makakita ako muli ng bola, ibinabalik ko sa meron ang konsepto sa tinatawag na aplikasyon.

Maaring gamitin ang sumusunod na krokis upang ipahayag ang ugnayang ito:

Matapos makita na ang matematika ay gumagalaw sa purong isip, lumilinaw sa ating lahat na ito ay abstraksyo.

Samakatwid, maaring ilagay ang matematika sa krokis nang ganito:

Ang itinawag ni Padre Ferriols sa aritmetika ay pagbilang nang walang binibilang. Pinatatakbo ang sistemang ito sa purong isip kung saan wala talagang binibilang na tunay na meron. Kaya kung magtanong ang guro ng “2 + 3?”, at sumagot ang estudyante ng “5,” nagkakaunawaan sila ngunit wala silang tinutukoy sa meron. Nagbibilang sila nang walang binibilang.

Ngunit kapag ginamit na sa meron ang aritmetika, nagaganap na ang tinatatawag na aplikasyon. Si Pedro may dalawang bey. Niyaya niya maglaro ng beyblade ang kaibigan niyang si Juan. Pagdating ni Juan, may dala siyang tatlong bey. Ilan ang lahat ng bey ng magkalaro? May limang bey sina Pedro at Juan. Sa kasong ito, nagbibilang na ako ng bey, nagbibilang na ako ng meron. Ang nangyayari sa aplikasyon ay pagbilang nang may binibilang.

Makikita sa ganitong krokis ang relasyon ng aritmetika at ng meron:

Ang susunod na tanong: paanong nabibigkas ng aritmetika ang meron? Dumiretso tayo sa isang mahalagang natuklasan sa teksto. Makikita agad ng matalas na mata sapagkat nakasulat italiko ito sa pahina 170:

Kapag mga beyblade ang binibilang, pwede mong sabihin na may pagtumbas ng isa sa isa at galaw sa galaw. Bawat bilang may katumbas na bey. Bawat galaw ng pagdagdag o pagbawas ng bilang sa isip ay may katumbas na galaw sa meron. Kapag nasira ang isang bey, ang kilos ng isip na 5-1=4 ay may katumbas na galaw sa meron. Kaya 4 na bey na lamang ang magagamit nina Pedro at Juan.

Kapag butil ng bigas ang binibilang, may pagtumbas na alanganin. Oo nga, tumutumbas ang timbang ng bigas sa bigas na tinitimbang. Pero bawasan mo ng isang butil ang isang kilong bigas, walang kawalan ang isang butil sa ibinibigay na timbang. Isang kilong bigas pa rin iyon.

Ganoon ba kasimple iyon? Kung tingian ang bilang (tulad ng sa mga bey), may pagtumbas na isa sa isa at galaw sa galaw at kung pakyawan/lansakan ang bilang (tulad ng sa bigas), may pagtumbas na alanganin?

Malinaw na hindi. Ito’y sapagkat kahit tingian ang bilang, hindi mo pa rin binibigkas ang buong meron ng binibilang. Noong sinabi mong may limang bey sina Pedro at Juan, hindi na importante ang kulay ng bawat bey, kung ito ba ay kay Valt o kay Honcho, o kung ang mga ito ba ay defense type o attack type o stamina type o balance type.

Baka naaalala rin ng ilan sa inyo na may dalawang abstraksyong nagaganap sa bawa’t pagbilang. Una, inaabstraksyo ko ang mga dapat bilangin sa mga hindi ko bibilangin. Pagkatapos, kailangan kong iabstraksyo ang mismong binibilang mula sa kanilang sarili.

Halimbawa:

Magbilang ka ng tao sa loob ng silid-aralan.

Una,  kailangang ihiwalay ng isip ang mga tao sa hindi tao. Kaya huwag mo dapat bilangin ang mga mesa, upuan, bentilador, atbp. Mga tao lamang ang dapat bilangin. Sa gayong kilos, inabstraksyo mo na ang mga taong bibilangin mo mula sa lahat ng meron na nararanasan mo.

Pangalawa, kailangan mong ihiwalay ang mga tao sa kanilang mga sarili. Kalimutan mo ang pagkabukud-tangi ng bawat taong binibilang mo. Tignan mo lamang ang bawat tao na walang pinagkaiba sa iba pang tao. Kalimutan mo muna ang kalaliman ng kanilang meron. Sa ganitong kilos, inabstraksyo mo ang tao mula sa kanyang sarili.

Kung hindi ako gagawa ng abstraksyo, hindi ako makapagbibilang. Ang paglimot sa hiwaga at kabuuan ng meron ay isang kinakailangan ng abstraksyo ng aritmetika.

Heto muli ang mahalagang punto o tesis ng talakayang ito:

Mga katanungan sa pagmumuni at pagpapalalim (para sa talaarawan):

1. Pagmunihan ang tinawag ni Padre Ferriols na dalawang sandali sa pangangasiwa ng elebeytor. Bagaman abstraksyo ang matematika, may matinong pagbubungang isip pa rin ang taong may matinong pag-iisip.

2. Sa paanong paraan nagdudulot ng karahasan sa tao kung sinasabi na sampuan ang hilera ng dyip o kung sapat sa 3 o 4 na tao ang malaking order sa restawran, o kung free size ang sukat ng isang damit? Paano lumalantad sa usaping ito ang abstraksyo ng matematika?

3. Paano lumilinaw sa talakayang ito ang mga sakop at hangganan ng matematika? ang mga kaya at hindi nito kayang bigkasin?